如何求解複合函式的反函式

由函式y=f(u)和函式u=g(x)複合而成的函式y=f(g(x))，叫作複合函式，求複合函式的反函式問題是一個十分複雜、困難的問題。下面我們一起來分析如何求解複雜的複合函式的反函式問題，為了求這個問題，我們可以將該問題分解為若干個基本初等函式的反函式問題。

操作方法

（01）下面我們先來看看關於如何求解複合函式的反函式的一個定理：設函式y=f(u)和函式u=g(x)，若y=f(u)和函式u=g(x)都存在反函式，分別為y=f^(-1)(u)和函式u=g^(-1)(x),那麼複合函式y=f(g(x))也存在反函式，且該反函式為：y=g^(-1)(f^(-1)(u)),具體如下圖所示：

（02）接著我們證明上述定理的正確性和有效性，首先證明其複合函式的反函式的存在性具體證明如下圖所示：

（03）接著我們證明覆合函式的反函式與所組成的複合函式的函式的反函式之間的關係，具體證明過程如下圖所示：

（04）下面我們來看一個例題，根據這個例題我們熟悉一下如何應用上述定理求解複合函式的反函式問題，具體例題題目如下所示：

（05）已經知道例題如上圖所示，下面我們來具體應用定理來求複合函式的反函式，具體求解過程如下圖所示：

特別提示

注意組合成複合函式的各個函式首先要存在反函式