數論：尤拉函式的計算與性質（Mathematica）

使用Mathematica計算尤拉函式，驗證有關性質，包括素數的尤拉函式值，尤拉函式的積性性質，尤拉函式的一般計算方法。

操作方法

（01）性質1：當p為素數時，p^n的尤拉函式值，等於(p-1)p^(n-1)。下面，我們舉例驗證。首先使用Prime函式產生10個素數，依次令n等於2,3,4,5,10計算尤拉函式。

（02）產生的10個素數為第一行所示。下邊是對公式的驗證，可見數值都是一致的。

（03）下邊我們舉例簡要說明原因。p^n的質因子只有p。故與p^n不互素的只有p的倍數，即0,p,2p,3p...p^n-p。

（04）這些不互素的一共有p^n/p個。用完系中所有元素減去不互素的元素，剩下的元素就是縮系的元素。元素個數為p^n-p^n/p=(p-1)p^(n-1)

（05）性質2：尤拉函式的極性。如圖，計算m*n的尤拉函式值，其中m和n互素。則EulerPhi[m*n]=EulerPhi[m]*EulerPhi[n]。如果m和n不互素則不成立。

（06）然後是一般情況下，尤拉函式的計算流程。其中用到了前兩個性質。把n質因數分解，然後把各個質因子帶入最終公式，計算尤拉函式值。證明過程如圖。

（07）如圖舉了一個實際的例子，計算EulerPhi[738]。把這個數質因子分解，質因子有2,3,41。把這三個數帶入最終公式，算得240。

特別提示

關於尤拉函式的含義以及完系和縮系的定義，請查閱引用。