探究定積分求橢圓面積-的新思想---圖形轉化思想

往往我們會使用定積分求解一些圖形的面積，但在求解過程中會遇到這樣那樣的問題，一些導函式很難看出它的原函式，當然換元法是一種很有效的辦法，可是我們中學階段所涉及的引數換元還很少，超出了教學大綱，我們就必須找到一種新的方法簡化我們的運算。這裡我們就來介紹一下圖形轉化。

操作方法

（01）關於橢圓和圓，我們觀察他們的圖形發現他們不是一個自變數對應一個函式值，所以想要利用定積分求面積就必須學會轉化成幾個部分求面積，比如中心在原點的橢圓，它在座標軸四個象限的面積是相同的，我們就可以轉化成求其中一個象限的面積。

（02）現在我們以：橢圓方程為x^2/16+y^2/9=1，求橢圓面積為例。來說明一下橢圓方程的轉化問題。

（03）接下來我們研究橢圓面積S橢圓，很顯然橢圓面積是對第一象限積分值的四倍。我們來化簡一下看有沒有什麼發現。

（04）關於這個積分，以我們目前學的知識無法看出它的原函式，所以求解又出現了阻礙，那麼有沒有方法轉化成我們學過的知識來求解呢？我們觀察這個式子積分的部分很熟悉，好像和圓有某種聯絡。

（05）圓心在原點，半徑為4的圓的面積為16π。它的四分之一為4π。根據四分之一圓的面積可以求得橢圓的面積3×4π=12π。觀察橢圓方程發現長半軸a=4,b=3,這和麵積中的3和4，是巧合嗎?還是有一些聯絡？

（06）看積分部分，可以表示為以原點為圓心，以a為半徑的圓的四分之一。接下來我們推推看一般橢圓的面積公式。

（07）這裡我們利用圖形轉化思想，將積分轉化成了圓面積的相關知識，不僅求得了橢圓的面積，還推理出了橢圓面積的一般表示式。這對我們以後的解題有很大的幫助。掌握這種思想會大大減少我們的計算，有事半功倍的作用。

特別提示

轉化時要細心，不要將圓的半徑搞錯。

計算積分時別將係數丟了。