橢圓引數方程

操作方法

（01）引數方程由來：圓的引數方程[特殊情形，圓心(0,0)，半徑R]{x=Rcosαy=Rsinα(α為引數，0≤α<2π)其引數α的幾何意義是圓上動點和圓心連線的旋轉角，如下圖所示；

（02）圓的引數方程[一般情形，圓心(m,n)，半徑R]{x=m+Rcosαy=n+Rsinα(α為引數，0≤α<2π)注意：很多容易和極座標的座標(ρ,θ)中的θ混淆，如圖所示，引數α=∠ACP；範圍α∈[0,2π]

（03）橢圓的引數方程{x=acosϕy=bsinϕ(ϕ為引數，0≤ϕ<2π)其引數ϕ的幾何意義是對應的大圓或小圓半徑的旋轉角∠AOM，也就是橢圓的離心角．不是橢圓上動點和中心連線的旋轉角∠AOP；切記！雖然∠AOM和∠AOP二者不相等，但是很顯然這二者也是一一對應的，並且它們的範圍都是[0，2π).

（04）列子：已知橢圓的引數方程為{x=2costy=4sint (t為引數)，點M在橢圓上，對應引數t=π3，點O為原點，則直線OM的斜率為3–√。分析：這個說法是錯誤的，怎麼糾正呢？

（05）當t=π3時，代入得到x=2cosπ3=1，y=2sinπ3=23–√，故M(1，23–√)，則kOM=y−0x−0=23–√。

（06）化為引數方程：介紹一個容易記憶的方法：類比：cos2θ+sin2θ=1當圓為x2+y2=4時，先轉換為(x2)2+(y2)2=1，cos2θ+sin2θ=1(x2)2+(y2)2=1對應上式，得到cosθ=x2，sinθ=y2，故圓的引數方程為{x=2cosθy=2sinθ(θ為引數)；當然，我們還可以這樣交叉對應，得到sinθ=x2，cosθ=y2，故圓的引數方程還可以為{x=2sinθy=2cosθ(θ為引數)；

（07）【說明】①由此說明，當我們取的引數不一樣時，圓的引數方程是不一樣的，即圓的引數方程可能不唯一。兩種引數的含義不一定一樣。②我們約定俗成的取法是第一種。③引數方程的引數有時候有明確的幾何意義，有時候沒有。當圓為(x−a)2+(y−b)2=R2時，先轉換為(x−aR)2+(y−bR)2=1，對應上式，得到cosθ=x−aR，sinθ=y−bR，故圓的引數方程為{x=a+Rcosθy=b+Rsinθ(θ為引數)；當橢圓為x2a2+y2b2=1時，先轉化為(xa)2+(yb)2=1，對應上式得到cosθ=xa，sinθ=yb，故橢圓的引數方程為{x=acosθy=bsinθ(θ為引數)；