羅爾定理證明題中構造輔助函式的基本方法

這個系列文章講解高等數學的基礎內容，注重學習方法的培養，對初學者不易理解的問題往往會不惜筆墨加以解釋，並配以一些例題，大多為紮實基礎的常規性題目和幫助加深理解的概念辨析題，難度適中，其中包含一些考研數學中的經典題目。本系列文章適合作為初學高等數學的課堂同步輔導，高數期末複習以及考研第一輪複習時的參考資料。既然是入門，就要捨去一些難度較大或不適合初學者的內容（例如用ε-δ語言證明極限，以及教材中多數定理的證明），有些較深入的問題（例如無窮大與無界的區別和聯絡，拉格朗日中值定理的證明思路等）我們會以專題文章的形式給出，供有興趣的讀者選讀。

操作方法

（01）概述。羅爾定理雖是微分中值定理中最基礎的一個，但其應用相當廣泛，許多涉及中值定理的證明題都可以用羅爾定理解決。中值定理證明題的普遍難點在於輔助函式的構造。（甚至可以說這是唯一難點，如果告訴你用什麼輔助函式，就差不多等於告訴你答案了。）輔助函式的構造法雖千差萬別，但也不是毫無規律可循。“條件變形”和“原函式法”是解羅爾定理證明題時兩種構造輔助函式的常用方法，本節我們通過幾個例題具體介紹。（“條件變形”能解決的題目通常比較容易，我們重點介紹“原函式法”。）

（02）用條件變形構造輔助函式的例題。

（03）“原函式法”的基本思路。

（04）利用原函式法構造輔助函式的例題。

（05）構造兩個函式乘積形式的輔助函式。

（06）一個難度較大的考研題。下面例題是1995年數一考題，難度較大，我們著重談談解題思路，證明細節請讀者自己補全。

（07）習題。