斐波拉契數列

操作方法

斐波拉契數列一直被認為是大自然中的神奇異數。
它的相鄰兩項之商趨近黃金分割0.618，與之相關的0.191、0.382和0.500等數字，構成了股市中市場時間和空間計算的重要節點。金融市場的時間和價格服從斐波拉契數列，有時準確率達到十分驚人的程度。

斐波納契（Fibonacci）中世紀歐洲比薩共和國的義大利數學家，被認為是當時“ 最有才華的西方數學家”。不過我們現在來這樣稱呼他，可能會讓他本人列奧納多·皮薩諾(Leonardo Pisano)感到錯愕。同樣讓他感到驚訝的是，最讓世人津津樂道是以他命名的這個斐波那契數列：0，1，1，2，3，5，8，13……，而並非本人更偉大的數學成就——將阿拉伯數字和乘數的位值表示法系統引入了歐洲。

斐波那契在《計算之書》中研究的一個數學問題是關於兔子在理想環境下繁殖的速度。假設一對新生的兔子，一隻公的，一隻母的，被放進田裡豢養。兔子可以在一個月大的時候交配，這樣在第二個月的月底，雌性兔子就能生產出另一對兔子。假設兔子永遠不會死，從第二個月開始，雌兔每個月都會生一對新的兔子(一隻雄的，一隻雌的)。斐波那契提出的問題是。一年後總共會有多少對兔子？

· 在第一個月末，它們交配，但仍然只有一對。
· 在第二個月末，雌兔生了一對新的兔寶寶，所以現在共有2對兔子。
· 在第三個月末，原來的雌性產生了第二對，總共生產了3對。
· 在第四個月末，原來的雌性又生產了一雙新的，兩個月前出生的第二代雌性也生產了她的第一對，現在共有五對兔子。
現在假設一下，n個月後有 x_n 對兔子。則 n+1個月將有的兔子數，是 x_n 對兔子，(兔子永遠不會死)加上新出生的一對數。但是新的一對只出生在至少一個月大的時候，所以會有 x_(n-1) 對新兔子。
這只是產生斐波那契數列的規則：最後兩項相加得到下一項。接下來，你會發現在12個月之後，將會有233對兔子。

兔子的問題顯然是人為設立出來的，但斐波那契數列也確實出現在大自然實際種群中，而蜜蜂就是其中一個例項。在蜂群中，有一種特殊的雌性叫做蜂王。其他雌性都是工蜂，而工蜂不會產卵。另外的雄性蜜蜂並不工作，被稱為雄蜂。
雄蜂是由蜂王的未受精卵子產生的，所以說它只有母親而沒有父親。而所有的雌性都是在蜂王和一隻雄性交配的時候產生的。因此，雌性蜜蜂有父母，一個雄性和一個雌性，而雄蜂只有一個母親，一個雌性。

蜜蜂種群並不是自然界中唯一出現斐波那契數的地方，它們也以美麗的貝殼螺旋形狀出現。我們可以看下面的動畫，從兩個大小為1的小正方形開始。在這兩個小正方形上面畫一個大小為2的正方形(=1+1)。我們現在可以畫一個新的正方形-同時緊貼一個單位正方形和第二個新正方形的邊的，所以邊有3個單位長；然後另一個同時緊貼2個正方形和3個正方形(它有5個單位的邊)。我們可以繼續在圖片周圍新增正方形，每一個新的正方形都有一個邊，其長度與最近兩個正方形的邊之和一樣長。這組矩形的邊長是兩個相鄰的斐波那契數，我們稱之為黃金矩形。

斐波那契數列也出現在植物的花瓣、萼片中。有些植物也按這種方式生長開來，比如雛菊可以有34，55，甚至多達89瓣！還有就是一個特別神奇、美麗的排列是花蕾中的螺旋線。下一次當你看到向日葵時，仔細觀察花盤中的種子排列，會發現兩組螺旋線，一組順時針向右，一組逆時針向左，並且彼此鑲嵌，按照這種方式排列生長。