如何分解因式

在數學中，“因式分解”是指將一個數字或者表示式分解成幾個數或者幾個表示式的積的形式。因式分解是解決一些代數問題的常用方法，正確的進行因式分解是求解二次方程和其他多項式的基礎。因式分解可以簡化代數式，從而方便求解，而且還可以幫助你排除可能的答案，這要比直接動手計算再排除要快得多。

分解數字和基本的代數式

（01）對單個數字進行因式分解的定義。因式分解的概念很簡單，但是在實際操作中，對複雜的方程進行因式分解卻並不容易。因此，先從單個數字的因式分解開始，然後再應用到基本的代數式中，最後再來解決複雜的問題。一個數字的因子，是相乘之後的積為該數字的幾個數。比如，12的因子是1, 12, 2, 6, 3, 4。因為1 × 12, 2 × 6, and 3 × 4 的結果都是12。也可以這樣理解，即一個數字的因子，是能整除這個數的數字。你能求出60的所有因子嗎？因為60可以被很多數字整除，所以60是很常用的一個數字（比如1小時有60分鐘，1分鐘有60秒，等等）。60的因子是1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

（02）能因式分解的變量表達式。就好像數字可以被分解一樣，變數的常數係數也可以被分解。因此，你需要先找到變數的係數。對變數進行分解是簡化代數方程的重要環節。比如，12x可以看做是12和x的乘積。我們可以將12x寫作3(4x), 2(6x), 等等，只要寫成12的因數相乘的形式即可。我們還可以將12的因數再進一步分解，換句話說，並不是分解到3(4x)或2(6x)就結束了，而是繼續將4x和6x分解成3(2(2x)和2(3(2x)。顯然，兩個表示式的結果是一樣的。

（03）利用乘法分配律分解代數方程式。利用分解數字和帶係數的變數的方法，你可以將數字和帶係數的變數分解成含有相同因數的形式，從而簡化表示式。通常，為了儘可能的簡化，我們需要求兩個數的最大公因數。而之所以可以這樣化簡的根據，是乘法的分配律，即對於任意的a, b, c,a(b + c) = ab + ac。舉例來說。對12 x + 6，進行因式分解。首先，先求出12x和6的最大公因數。6是最大的既可以整除12又可以整除6的數，所以可以化簡成6(2x + 1)。對於負數和分數也一樣適用。比如，x/2 + 4，可以寫成1/2(x + 8),，-7x + -21可以寫成-7(x + 3)。

分解二次方程

（01）確定方程是二次方程 (ax2+ bx + c = 0)。二次方程的標準形式是ax2+ bx + c = 0，其中a, b, c是常數，並且a不為0(a可以是1或-1)。如果方程有1個變數(x)，並且有1個或多個x的平方，你可以將等號一側的變數移到等號另一端，讓等號一端為0，另一端有ax2等。比如，代數方程。5x2+ 7x - 9 = 4x2+ x - 18可以簡化成 x2+ 6x + 9 = 0，轉化成標準二次方程形式。方程中有更高次的x項，比如x3，x4等。這樣的方程是三次方程或四次方程，以此類推，除非大於2次的x項可以約去，否則這樣的方程不是二次方程。

（02）二次方程係數中，a = 1，可以因式分解成(x+d )(x+e)，其中d × e = c，並且d + e = b。如果二次方程的形式是x2+ bx + c = 0 (換句話說，x2的係數為1)，那麼這樣的方程可能（不保證）分解成這樣的形式。找到兩個數，它們的積是c，和是b，當你找到這樣的兩個數d和e之後，你就可以得到如下：(x+d)(x+e)。這兩項的乘積就是原二次方程，換句話說，這兩項就是二次方程的因式。比如，方程x2+ 5x + 6 = 0。 3和2的乘積是6，3和2的和是5，所以方程可以寫成(x + 3)(x + 2)。根據具體方程的不同，最終結果的形式也有不同：如果方程的形式是x2-bx+c，那麼結果的形式是：(x - _)(x - _)如果方程的形式是x2+bx+c，那麼結果的形式是：(x + _)(x + _)如果方程的形式是x2-bx-c，那麼結果的形式是：(x + _)(x - _)注意：上式空格中的數字可以是分數或小數，比如方程x2+ (21/2)x + 5 = 0的因式分解結果是 (x + 10)(x + 1/2)

（03）可能的話，用試驗法分解因式。信不信由你，對於一些簡單的二次方程，一種簡單的因式分解方法就是試驗，將你認為可能的因式帶入，直到你找到正確的因式為止。這樣的方法叫試驗法。如果方程的形式是ax2+bx+c且a>1，最終的因式分解的結果的形式可能是(dx +/- _)(ex +/- _)，其中d和e是非零常數，且乘積為a。d或e可以為1（或者都為1），對於這個並沒有硬性規定。如果d和e都為1，那麼你可以使用上文的方法進行因式分解。舉個例子來說明。方程3x2- 8x + 4，第一眼看上去很嚇人。然後，當我們意識到3的因式只有2個（3和1）時，問題就變得簡單了，因為我們知道最後的形式一定是(3x +/- _)(x +/- _)。在本例中，空格處都填-2，即為正確結果。-2 × 3x = -6x 和-2 × x = -2x；-6x和-2x的和是-8x；-2 × -2 = 4，所以，括號內的因式相乘的結果就是原式。

（04）配方法。某些情況下，利用一些公式，二次方程可以很快很容易的因式分解。利用公式x2+ 2xh + h2= (x + h)2，如果一個二次方程中，b的值是c的平方根的兩倍，那麼方程就可以轉化成(x + (sqrt(c)))2的形式。比如，方程x2+ 6x + 9符合上述要求。32=9，3 × 2= 6。所以，方程的因式分解結果是(x + 3)(x + 3)，或者(x + 3)2。

（05）利用因式分解解二次方程。不論你的因式分解結果是什麼，因式分解之後，你可以令每個因式的結果為0，從而解出x的值。由於你要找的x是能夠讓方程為0的值，所以一個能夠讓因式為0的x的值就是你要求的x。讓我們回到方程x2+ 5x + 6 = 0中。因式分解的結果是(x + 3)(x + 2) = 0。如果任意一個因式為0，那麼整個方程的結果也為0，所以可能的x的解是讓(x + 3) 和(x + 2)等於0的值。解得的結果分別是-3和-2。

（06）檢查結果，有時解出的結果並不是方程的解。當你求出了x的可能的值之後，將它們分別代入原方程，檢查一下它們是否是方程的解。有時，你求出來的結果可能無法讓原方程的值為0，這樣的值要捨去。將-2和-3代入方程x2+ 5x + 6 = 0。首先，代入-2:(-2)2+ 5(-2) + 6 = 04 + -10 + 6 = 00 = 0。正確，所以-2是方程的解。再代入-3:(-3)2+ 5(-3) + 6 = 09 + -15 + 6 = 00 = 0。正確，所以-3也是方程的解。

對其它形式的方程進行因式分解

（01）如果方程的形式是a2-b2，那麼因式分解的結果是(a+b)(a-b)。只有兩個變數的方程的因式分解結果和二次方程的基本形式的因式分解結果不同。對於任意的a2-b2，只要a和b不等於0，那麼這樣的方程總是可以化成(a+b)(a-b)的形式。比如，方程9x2- 4y2= (9x + 4y)(9x - 4y)

（02）如果方程的形式是a2+2ab+b2，那麼它的因式分解結果是(a+b)2。注意，如果方程的形式是a2-2ab+b2，那麼結果就是：(a-b)2。方程2x2+ 16xy + 4y2可以寫成2x2+ (2 × 2 × 4)xy + 4y2。方程滿足上述的形式，所以我們可以確信，因式分解的結果是(2x + 4y)2

（03）如果方程的形式是a3-b3，那麼因式分解的結果是(a-b)(a2+ab+b2)。最後，值得一提的是，3次以更高次的方程是可以因式分解的，但是過程相對複雜費力一些。比如，2x2- 3y2的因式分解結果是(2x - 3y)(2x2+ ((2x)(3y)) + 3y2)

你需要準備

（01）紙筆數學書(有必要的話)

特別提示

a2-b2是可以進行因式分解的， a2+b2是不能因式分解的。

要記住如何分解常數，這有助於因式分解。

因式分解過程中要注意分數，處理帶分數的方程是要小心。

如果方程的形式是x2+bx+ (b/2)2，那麼因式分解的結果是(x+(b/2))2。 (使用配方法得到的結果)

記住“0=0” (結果為0的特徵)