關於變限定積分的導數計算方法
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變限積分的連續性和可微性
(01)定理一 若 f 可積,則變限積分是連續的。我們只要證明函數增量趨近於零即可:對任意的 x 屬於區間 [a,b]
(02)因為 f 有界,所以可設
(03)同理,當增量小於零也類似,所以最終得到:
(04)所以函數在點 x 連續,由於 x 的任意性,所以函數在整個區間連續。
(05)定理二 若 f 連續,則變限積分是處處可導的。按照導數的定義,可知:
(06)由積分中值定理,存在一點 z ,使得:
(07)這個定理又叫原函數存在定理,溝通了導數和定積分兩個概念,更重要的是以積分形式給出了 f 的一個原函數。
複合變限積分
(01)對於複合變限積分,顯然是一種特殊的複合函數,我們只要使用複合函數的求導法,就能輕鬆的求出這三個積分。
(02)對於最複雜的第三個,這種積分會經常遇到,一定要熟練使用:
(03)比如下面這個積分,要3秒鐘寫出導數。把上下限分別帶入被積函數,然後記得乘以上下限的導數。
積分號下的變限積分
(01)這類問題有些時候看起來很複雜,因為有很多個積分變量,並且有些積分求不出原函數,但是隻要看清楚積分的形式。
(02)使用分部積分法,把複雜的積分放在微分號後面,問題就很簡單了。